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Los números

Números complejos

numeros complejos

¿Quieres saber qué son los números complejos y para qué sirven?

¡Sigue leyendo y descubre todas sus propiedades, formas de representarlos, historia y mucho más!

Tabla de contenidos

¿Qué son los números complejos? Definición con ejemplos

Los números complejos tienen una importancia enorme en las matemáticas y el álgebra, entre otras disciplinas. Se trata de números que se extienden de los números reales, formando por sí mismos un grupo cerrado en términos algebraicos. Para su designación se utiliza la letra C.

Una de las diferencias respecto a los números reales se encuentra en que dentro del grupo de números complejos están incluidas las raíces de los polinomios sin excepción. Dicho esto, podemos añadir que los números complejos se pueden presentar mediante la operación de suma de un número imaginario y un número real:

z = a + bi, siendo i la unidad imaginaria, es decir, √(-1)

En este video del canal Derivando se explica de forma genial:

Un número complejo se puede representar de varias formas:

numero complejo forma polar

  • Número complejo en forma binómica: z = a + bi
  • Número complejo en forma trigonométrica: z = (cos θ + i sin θ)
  • Número complejo en forma de coordenadas cartesianas: (a, b)
  • Número complejo en forma polar:

forma polar

¿Para qué sirven los números complejos?

Hay muchas especialidades que utilizan los números complejos en su día a día, resultando cruciales en la realización de todo tipo de operaciones.

Se usa en álgebra, en ecuaciones diferenciales, análisis, variables complejas y cálculo de integrales. También son muy utilizados en aerodinámica, electromagnetismo, hidrodinámica, mecánica cuántica, electrónica, ingeniería, telecomunicaciones, por mencionar solo algunos ejemplos. Son un recurso frecuente en la física y sobre todo tienen una importancia fundamental en las matemáticas.

Un dato interesante es cómo los matemáticos se posicionan a favor de los números complejos en su preferencia respecto a los números reales. El motivo de ello se encuentra en que les permite llevar a cabo la resolución de ecuaciones de una manera mucho más cómoda y eficaz. Esta situación se razona gracias a la existencia del teorema fundamental del álgebra con el cual se determina que los números complejos representan un grupo que algebraicamente se encuentra cerrado. Otras aplicaciones habituales son las ecuaciones diferenciales, el análisis complejo y el uso de fractales.

numeros complejos en fisica

Podemos añadir también que los números complejos influyen en geometría con las formas y los triángulos, en ecuaciones dinámicas, dinámicas de fluidos, relatividad y en la teoría del control. Desde su aprovechamiento distintas ciencias se han visto muy beneficiadas de los descubrimientos que han aportado estos números.

Su historia y origen

No sorprende ver el nombre de Herón de Alejandría asociado a la invención de los números complejos, porque no en vano se trató de una de las mentes pensantes más importantes de su época. Creador de todo tipo de inventos, Herón también fue el primero (según referencias históricas) en encontrarse con un número complejo.

Lo hizo cuando se encontró con una sección imposible en una pirámide. Eso ocurría en el año I antes de Cristo y serviría como primera manifestación excesivamente previa de lo que llegaría mucho tiempo después.

Heron de Alejandria

Hay que saltar al siglo XVI para que los números complejos tengan una auténtica presencia en la sociedad. El nombre más importante al respecto es el de Girolamo Cardano, un matemático italiano que propuso su aceptación en el año 1545 con un tratado de tipo epitómico relacionado con las ecuaciones cuárticas y cúbicas. Pero aunque su propuesta estuviera llena de lógica, lo cierto es que lo presentado por Cardano no fue bien recibido.

Los matemáticos contemporáneos de Cardano no le dieron validez suficiente. Hubo que esperar al trabajo de Caspar Wessel y Jean-Robert Argand en los años 1799 y 1806 respectivamente, para que sus teorías sí que fueran instauradas.

Girolamo Cardano

Posteriormente Carl Friedrich Gauss se encargó de organizar todo el conocimiento, haciendo una definición a fondo y demostrando su uso en el teorema fundamental del álgebra. Ya en el siglo XIX se implementó con números reales en pares.

Carl Friedrich Gauss

La primera vez que se usó el término “número complejo” fue de la mano de Carrot en el año 1803, dado que con anterioridad Cardano se había referido a ellos como números negativos puros. En nuestros días forman un pilar crucial en el estudio y en la realización de operaciones matemáticas para las que ya resultan imprescindibles.

Propiedades de los números complejos

Todos los números complejos encajan dentro de las características propias que definen las leyes correspondientes a la axiomática. Por esto sabemos que los números complejos tienen propiedades asociativas, conmutativas y distributivas, además de que estos números tienen inversos aditivos e inversos multiplicativos.

Valoremos, por otra parte, que no existen posibilidades de ordenarlos, siendo algo en lo que se diferencian de, por ejemplo, los números reales. Además de esto, los números complejos es posible generalizarlos, de manera que se forman los números hipercomplejos.

La propiedad más clara de estos números complejos radica en que nos dan la oportunidad de obtener soluciones que con números reales no es posible dentro de algunas ecuaciones determinadas. Así, las ecuaciones que no puedan tener una solución real la encuentran con los números complejos.

Operaciones con complejos

El uso de los números complejos se realiza a través de distintos tipos de operación que incluyen la igualdad, adición, el escalamiento por producto, la multiplicación, resta o división.

  • Suma: la llevaremos a cabo con una fórmula basada en la suma primero de a + bi con c + di, lo que nos dará como resultado (a + c) + (b + d) i.
  • Resta: partiremos de a + bi menos c + di, contando con un resultado formado por (a – c) + (b – d) i.
  • Multiplicación: tendremos a + bi multiplicado por c + di que darán como resultado (ac – bd) + (ad + bc) i.

Para el uso de los números complejos se recomienda conocer la forma polar, que aporta una especial sencillez en las operaciones de multiplicación. Y también son importantes las fórmulas de Moivre y Euler, que bajo sus métodos ayudan a realizar operaciones y a sacar máximo beneficio a estos números de manera aplicada.