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Los números

Números enteros

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Los números enteros son las cifras más utilizadas entre todos los tipos de números que existen. Entendemos como número entero el conjunto absoluto que incorpora dentro del mismo los números naturales, el cero y sus negativos.

Son los números con los que estamos habituados a contar y realizar operaciones mucho antes incluso de que aprendemos a sumar o restar cuando somos niños.

La importancia de los números enteros

Cuando la sociedad aprendió a usar los números naturales y se encontró ante la tesitura de hacer operaciones y de sumar o restar bajo determinadas condiciones, entendió que con los números tal y como existían hasta ese momento no eran suficiente.

Los números enteros fueron la respuesta a las limitaciones. Por ejemplo, ¿qué es lo que ocurre cuando hacemos una operación con fechas históricas que se fijan antes y después del nacimiento de Cristo? O lo mismo podemos decir de determinados niveles de temperatura en distintos momentos del tiempo.

Para entenderlo, los números enteros nos permiten realizar operaciones matemáticas con las que llegamos a conocer las posiciones exactas de los valores que nos interesen posicionados tanto en tiempo y espacio como en cualquier otra magnitud física.

Hay un último símbolo importante a tener en cuenta, y se trata del que engloba todos los números enteros. Para ello se utiliza la letra Z, denominada como símbolo zahlen, procedente del alemán.

De hecho, el conjunto de números enteros se define como: ℤ = {…−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}

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Los números enteros en la recta numérica

Desde tiempos remotos se utiliza la recta numérica como forma de situar con facilidad los números enteros de una manera gráfica.

Esta imagen se representa a modo de línea recta que parte de un punto central en el cual se encuentra posicionado el número cero. Las dos mitades que parten hacia los lados son simétricas y no tienen final, dado que representa que los números enteros se van extendiendo hasta el infinito.

numeros enteros recta numerica

En el lado de la izquierda están los números negativos, comenzando en -1 y continuando en cada línea de la regla por un número adicional: -2, -3, -4, y así sucesivamente. El color que representa a los números de la izquierda es el rojo.

En la derecha se encuentran los valores positivos, que están mostrados en color azul y no necesitan el símbolo de la suma para su indicación. No obstante, no es un error incluir este símbolo cuando se habla de números enteros positivos. Simplemente no suele ser necesario.

La recta numérica aparentemente la inventó John Wallis, uno de los matemáticos más importantes de la historia. Este británico es uno de los responsables de haber dado vida al cálculo como lo conocemos en tiempos modernos y también fue quien definió que el símbolo del infinito se utilizaría con ese fin.

Los signos en los números enteros

Tal y como ocurre en su representación en la recta numérica, los números enteros pueden estar acompañados de dos tipos de signo: – o +.

  • El único obligatorio de los dos es el menos, que indica cuando un número se trata de su negativo. La presencia cambia totalmente el uso del número en matemáticas, por lo que conviene tenerlo en cuenta. La lectura del número con el símbolo se realiza de forma natural, por lo que en el caso de -4, lo leeremos como “menos cuatro”.
  • El símbolo de + no es necesario ponerlo, pero su presencia ayuda a que todo se encuentre mejor indicado, por lo que utilizarlo no se trata de un error, ni mucho menos.
  • Cabe destacar por su lado, que el número cero no requiere un signo delante de él, pero podemos incorporarlo de forma invariable a la hora de escribirlo.

Las propiedades de los números enteros

La estructura de tipo algebraico que forman los números enteros por medio de la multiplicación y la suma es conocida con el término técnico de anillo.

Se consideran un subconjunto que forma parte de la familia de los números racionales por un motivo sencillo: los números enteros actúan a modo de fracciones con el número 1 como denominador constante.

También están considerados como una forma de expandir los números naturales y forman una estructura ordenada debido a que no hay final por ninguna de sus direcciones y además están ordenados de manera que los valores en ambos puntos son proporcionales en negativo o positivo.

Operaciones por medio del uso de números enteros

Los números enteros siguen los pasos de los números naturales en lo referente a las operaciones que se pueden hacer con ellos. Por lo tanto, es posible sumar, restar, multiplicar y dividir con ellos tal y como explicaremos a continuación:

Sumas con enteros

Similar a la suma de números naturales. El valor absoluto y el signo se determinan de forma independiente teniendo en cuenta ciertas condiciones.

Para determinar el signo resultante:

  • El signo resultante será fácil conocerlo si los dos números a sumar tienen el mismo, dado que este se mantendrá.

3 + 2 = 5

  • En el caso de que uno de los valores tenga un signo y el otro, el opuesto, el signo que valdrá para el resultado será el correspondiente al del número que tenga un mayor valor absoluto.

-3 + 2= -1

Para determinar el valor resultante:

  • Si la operación de suma se realiza con dos signos idénticos el valor absoluto estará determinado por la suma que se realice de los valores absolutos.

-3 + (-2) = -5

  • Por su lado, en el caso de que hablemos de signos distintos, el valor absoluto lo obtendremos haciendo la diferencia entre el mayor y menor valor absoluto.

3 + (-2) = 1

Las sumas de números enteros tienen propiedades conmutativas, asociativas y de elemento neutro.

Restas, multiplicaciones y divisiones con enteros

Lo importante en todas las operaciones con números enteros es tener en cuenta los signos y el valor de estos.

  • Restas: nos fijaremos en qué signo tiene un mayor y menor valor absoluto, no olvidando la regla que indica que cuando se produce una operación con dos signos que son iguales se convierten en el opuesto.

3 – (-2) = 3 + 2 = 5

  • Multiplicaciones: también requiere que apliquemos el sistema de signos, pero antes multiplicando los valores absolutos. Dos signos positivos, resultado positivo. Dos signos negativos, resultado positivo. Un signo de cada, resultado negativo.

-3 * 2 = -6

  • Divisiones: es exactamente el mismo proceso, pero dividiendo en vez de multiplicando.

-6 / 2 = -3