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Los números

Números naturales

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A los números naturales les debemos muchísimo. En la historia de la humanidad son los números que ayudaron a los primeros miembros de nuestra civilización a contar. Y aunque se pueda pensar que contar es su única finalidad, lo cierto es que los números naturales también han sido los que se han utilizado desde los principios de los tiempos para ordenar.

Con el uso de los números naturales estas acciones son sencillas y resuelven todo tipo de situaciones con flexibilidad, lo que ha llevado a su instauración.

¿Qué caracteriza a los números naturales?

Los números naturales comienzan en el 1, dado que el número cero, aunque se utiliza, representa en realidad la ausencia de este tipo de números. También hay que tener en cuenta que los números naturales son infinitos.

El conjunto de números naturales se define como: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Otro factor importante se refiere a cómo dentro del grupo de números naturales no se usa ningún tipo de decimal y como estos números nunca se terminan (es un conjunto infinito), de manera que la afirmación de que todos los números naturales tienen un sucesor es absolutamente cierta.

De esta manera, los números que quedan fuera del grupo de los naturales son los negativos y las fracciones, pero los naturales sí que abarcan todos los impares y los pares sin excepción.

Otro de los aspectos a conocer es que tal y como siempre se cumple la regla de que tras un número natural hay otro número natural, también se cumple que entre dos números naturales siempre existe una cantidad de números finita.

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Diferencias de los números naturales con los números enteros

En ocasiones tendemos a confundir conceptos y es frecuente que se cometa el error de no entender con claridad qué es aquello que diferencia un número natural de un número entero. Las similitudes entre ambos son enormes, pero más allá de la propia naturaleza y uso de los números, hay una diferencia que resulta muy obvia.

Se trata de cómo los números enteros no solo abarcan los positivos, sino también los negativos. Y como hemos dicho, los números naturales no incluyen los negativos.

Tengamos en cuenta que usamos tanto los números enteros como los naturales para llevar a cabo operaciones matemáticas de una manera que resulta natural para el ser humano, como multiplicaciones, sumas o restas.

Dicho esto, los números naturales son los que se suelen ocupar contabilizar los distintos objetos que forman los conjuntos. Por su lado, los números enteros son los que tienden a usarse más cuando realizamos operaciones en las que hemos partido de los números naturales, dado que se pueden obtener valores negativos.

La historia de los números naturales

Las primeras pruebas del uso de los números datan de grabados que pertenecen a la sociedad de Mesopotamia, sobre el año 400 antes de Cristo. Este inicio del uso de los números fue adaptado de formas personalizadas por las civilizaciones de Grecia y Roma.

El estudio de los números progresó con el paso de las épocas y alcanzó sus primeras bases en el siglo XIX, tiempo en el cual Richard Dedekind publicó varios estudios acerca de estos números.

Le siguió el trabajo de Peano y de Frege, que estudiaron los motivos de la existencia de los números naturales. Su trabajo fue continuado por Zermelo, Fraenkel y von Neumann en última instancia. Matemático tras matemático se exploraba en la construcción de los números naturales hasta la definición de los conocimientos que tenemos en la actualidad.

Aparición del cero como número

Históricamente la creación del número cero comenzó en el momento en el cual se originó en India su sistema de numeración propio. Este adoptó el cero y causó interés en la sociedad árabe, que con el tiempo también pasó a utilizarlo.

Por efecto de los cambios que se produjeron en el control de la península ibérica en el siglo XII, Europa comenzó también a utilizar el número cero. En primera instancia se utilizaba el cero como uno de los números utilizados, pero no se le consideraba un número natural.

Tuvo que llegar el siglo XIX y algunos de los estudios que hemos mencionado antes para que el cero se instaurase también en Europa una vez se definió la teoría de conjuntos.

Operaciones a destacar con números naturales

Ya hemos mencionado que con los números naturales podemos hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Cuando nos referimos a multiplicaciones o sumas se dan ciertas características, como que por su propiedad de tipo conmutativo los números pueden ordenarse de cualquier forma sin que el resultado vaya a cambiar.

2 + 3 = 3 + 2 = 5

2 * 3 = 3 * 2 = 6

Así mismo, si lo que buscamos es hacer una operación de multiplicación o suma en la cual haya una cantidad de números naturales de tres o más unidades, no será necesario que llevemos a cabo una agrupación de estos números. Esto se debe a la propiedad asociativa que existe entre los números.

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo con los naturales

Para dividir los números naturales dentro de las operaciones utilizamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, siendo importante conocer ambos para entender estas operaciones.

  • MCD (Máximo Común Dividor): es el número natural entre todos que resulta mayor y con el cual es posible realizar una división del resto de números. ¿Cómo lo obtenemos? Lo primero que haremos será realizar la descomposición de las cifras en números primos, seleccionando los factores comunes que tengan un menor exponente y obteniendo el resultado del producto de los factores.

mcd (4, 8) = 2*2 = 4

8 = 2*2*2*1

12 = 2*2*3*1

  • MCM (Mínimo Común Múltiplo): se trata del número de menor valor de los distintos números múltiplos de ellos. ¿Cómo lo obtenemos? Para ello hay que llevar a cabo la descomposición de las cifra en números primos, pero en este caso seleccionaremos los factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor. Después haremos el cálculo correspondiente de los factores.

mcd (14, 24) =  2*2*2*3*7 = 168

14 = 2*7

24 = 2*2*2*3*1