Números racionales

¿Quieres saberlo todo acerca de los números racionales y comprender qué les diferencia de los irracionales?

El símbolo usado para representar a los números racionales es con la letra Q, siendo el motivo de ello la palabra “quotient” (cociente). Pero seguro que quieres saber qué son, para qué sirven, sus operaciones e historia, ¿verdad? ¡Sigue leyendo!

¿Qué es un número racional? Definición

De forma habitual se simplifica la definición de los números racionales diciendo que su representación es un cociente de un total de dos números enteros. Esto hace referencia a una fracción común en la cual tanto denominador como numerador son distintos a cero.

Se dice que estos números reciben el nombre de racional debido a que los números incluidos siempre hacen referencia a la parte de un todo o a una fracción. Los números racionales están vinculados de una manera directa con los números enteros, con los que comparte conjunto de números. Así mismo, está considerado como un subconjunto de la categoría de números reales.

Diferencia entre un número racional y un número irracional

Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo:

Operaciones con números racionales

Con el uso de números racionales tenemos la posibilidad de sumar, restar, dividir y multiplicar:

1. Sumas con racionales

Las sumas se pueden realizar tanto cuando se utiliza el mismo denominador como cuando es distinto. En el primero de los casos lo que haremos será llevar a cabo la suma de los numeradores. Como el denominador es el mismo, lo que haremos será dejarlo tal cual. En estos casos el denominador nunca cambia y lo único que hacemos con los numeradores es hacer su suma de la forma tradicional.

Si la suma es con un denominador distinto, primero tendremos que obtener el mínimo común múltiple de estos valores de denominador que no coinciden. Después de esto deberemos multiplicarlos con la inclusión del numerador correspondiente.

2. Restas con racionales

Otra forma de denominar a las restas de números racionales es como operación inversa a la suma. Lo que haremos en este caso será obtener la resta llevando a cabo la suma del minuendo de la operación con el valor opuesto del sustraendo  determinado en la resta.

De manera global, si el denominador es el mismo seguiremos el ejemplo de la operación de suma, dejando el denominador tal y como estaba y restando los dos valores de los numeradores.

Lo mismo ocurre con el caso en el que el denominador sea distinto, dado que deberemos buscar el denominador común (realizando la operación de mínimo común múltiple de los distintos denominadores implicados) y dividirlo por los denominadores y usando el resultado para multiplicarlo por el numerador.

3. Multiplicaciones con racionales

Las operaciones de multiplicación van a implicar que siempre obtendremos un resultado como número racional en el cual sus valores de denominador y numerador estarán basados en los productos de los factores. Para mayor sencillez simplificamos todos los numeradores y los denominadores.

4. Divisiones con racionales

Cuando necesitamos dividir números racionales lo que haremos será realizar la multiplicación del dividendo con el valor inverso de la cifra del divisor, es decir, multiplicar en cruz.

Se fomenta la simplificación siempre que sea necesario y no hay que perder de vista nunca los signos. Lo que haremos en resumidas cuentas será multiplicar la primera de las fracciones por la segunda de las mismas, pero con su valor invertido.

¿Cuáles son las propiedades de los números racionales?

Podemos dividir las propiedades que tienen los números racionales en tres tipos: conjuntistas, algebraicas y topológicas.

1. Propiedades conjuntistas

Hay que tener en cuenta que el conjunto que representan los números reales no es numerable. Pero a diferencia de esto, el conjunto que forman los números racionales sí que lo es.

2. Propiedades algebraicas

El uso de los números racionales en álgebra se produce debido a que este conjunto tiene las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas a través de las distintas operaciones que podemos hacer con ellos.

Además de esto, los números racionales cuenta con elementos neutros que se utilizan a la hora de hacer sumas y obtener el producto. En las operaciones de suma se utiliza el cero, mientras que para sacar el producto usamos el 1. También tienen propiedades simétricas en este tipo de operaciones, haciéndose uso del elemento opuesto y del inverso multiplicativo.

Hay que tener en cuenta que los números racionales representan el menor de los cuerpos que tiene característica nula. Esto significa que todos los demás cuerpos que tengan esta característica tienen en su interior una versión del conjunto de números racionales Q.

Y por último, se da la circunstancia de que todos los números racionales (a excepción de cero) pueden descomponerse de la misma manera.

3. Propiedades topológicas

Estas propiedades se fundamentan en que todo el conjunto representado por Q también da forma a un subconjunto de los números reales. Esto implica que cada uno de los números reales cuenta con números racionales a corta distancia.

Por otro lado, los números racionales son una fracción regular continua que se extiende hasta el infinito. La naturaleza de estos números se representa como un espacio que no es compacto de forma local y que además es un espacio numerable y metrizable, discontinuo y con la ausencia de puntos aislados.

Historia de los números racionales

Como sabréis, los números no han existido desde los principios de la humanidad, sino que se fueron desarrollando con el paso de las épocas. En el caso de los números racionales, su utilización se remonta a la sociedad egipcia. La leyenda originada de un papiro que escribió Ahmes en el año 1900 antes de Cristo habla de cómo en tiempos de necesidad tenían que llevar a cabo un reparto equitativo entre los ciudadanos del pan que tenían cada día. El problema inicial se encontraba en que había demasiadas personas, pero pocos panes.

Eso implicaba que todos los días había personas que no recibían un pan. Y resultaba complicado gestionarlo para que al día siguiente lo recibieran quienes no lo habían tenido el día anterior. Ante esa situación, los egipcios hicieron uso de las fracciones de manera que pudieran organizar el pan en trozos menores que repartir de manera equitativa. Utilizaron fracciones de 1 sobre n (número natural) y se encontraron que aún así tenían problemas, porque necesitaban usar otros numeradores para que el trabajo les diera un buen resultado. Para salir del apuro lo que se comenzó a utilizar fue la fracción egipcia, que les permitía hacer operaciones con fracciones diferentes.

Con el tiempo los hindúes definieron la forma de las fracciones tal y como se la conoce hoy en día, y los árabes colocaron la línea horizontal, la cual después aterrizó en Europa gracias al matemático Leonardo de Pisa.