Números reales

¿Quieres saberlo todo acerca de los números reales?

¡Si sigues leyendo, aprenderás qué son, cómo se clasifican, su historia y mucho más!

¿Qué son los números reales? Definición

Entendemos números reales como todo el grupo que abarca los números irracionales, los números racionales, los enteros y los naturales. Hay distintas maneras en las que podemos construir y describir estos números dependiendo de las circunstancias y del rigor matemático del cual estemos partiendo.

Se definieron con la intención de separar estos números del número imaginario i, el cual tiene un valor equivalente a la raíz cuadrada de -1. En este video del canal Derivando se explica de forma genial:

¿Cómo colocar un número en la recta real?

Los números reales son representados en matemáticas por el símbolo y su dominio es el siguiente:

La recta real es la recta en la cual podemos colocar todos los números reales. Podrás verlo claro con la siguiente imagen:

Clasificación de los números reales con ejemplos claros

Podemos dividir los números reales en tres bloques principales:

• Racionales e irracionales: aunque se utiliza la letra R para denominar al conjunto de los números reales, en el caso de los números racionales e irracionales se usan las letras Q y I respectivamente. ¿Qué entendemos como número racional? Son todos aquellos que tenemos la oportunidad de representarlos en base al cociente de un total de dos números enteros. Un buen ejemplo de ello son ½, 0, 5, o ¾, que al mismo tiempo tienen representaciones decimales periódicas. Explicar cuáles son los irracionales es mucho más sencillo, dado que en esta categoría entran absolutamente todos los demás, que son los que tienen expansiones decimales de tipo aperiódico.

• Algebraicos y trascendentes: con la letra A se clasifican los números trascendentes y algebraicos. Para conocer los números algebraicos tenemos que tener en cuenta que se trata de los que se dan cuando hay un polinomio formado por coeficientes racionales en el que se encuentre presente. Si no es un número algebraico, es uno trascendente. Es importante tener en cuenta que aunque todos los números racionales son por definición algebraicos, no todos los algebraicos resultan ser números racionales.
• Computables e irreductibles: por último, ¿cuándo hablamos de número computable? Son aquellos números que permiten realizar la escritura del mismo en un software que infinitamente generará ese número sin descanso. ¿Qué ocurre cuando el número no es computable? En ese caso lo denominamos como número irreductible. Los números reales computables utilizan la simbología Rcomp.

Historia de los números reales

Hay que remontarse a tiempos del pasado para situarnos en el origen de los números reales. Aunque el trabajo con los números ya había comenzado de la mano de los egipcios con anterioridad, fue Pitágoras quien en 500 antes de Cristo vio la necesidad que existía de disponer de los números que hoy día conocemos como irracionales.

Posteriormente los indios crearon los números negativos, los chinos los perfeccionaron y en el siglo XVIII ya se usaban números reales, pero sin estar realmente definidos con precisión. Quien se ocupó de poner todos los estudios en orden y de definirlo con exactitud fue Georg Cantor a lo largo del año 1871. Este diseñó la conocida como teoría de los conjuntos, que incluía los cardinales infinitos y finitos y los encajamiento sucesivos).

Se complementó con el trabajo de Richard Dedekind sobre entornos y cortaduras, así como vecindades. Con su trabajo conjunto se sistematizaron los números reales utilizando los conocimientos de todos los matemáticos desde el principio de los tiempos. Esta se conoce como una de las colaboraciones en investigación matemática más importantes de la historia de la humanidad por la manera en la que aportaciones de matemáticos de muchos siglos previos todavía resultaron válidas en la definición definitiva realizada de los números reales.

El resultado, por lo tanto, no solo fue mérito de Georg Cantor y Richard Dedekind, que se ocuparon de terminar el trabajo con su inteligencia, sino que también participaron en ello Pitágoras, Descartes, Leibniz, Newton, Gauss, Lagrange o Riemann, entre muchos otros.

Propiedades de los números reales

• Los números reales son integrales, lo que significa que no existen espacios que se encuentren vacíos en los distintos conjuntos de números. Por lo tanto, los conjuntos que cuentan con un límite superior también tienen un límite inferior a fin de mantener la integridad.
• Así mismo, estos números son infinitos en ambas direcciones, y esto también se aplica a la forma en la que se pueden expandir decimalmente de forma infinita. Por ello se trata de números que utilizamos de manera común cuando realizamos cálculos de tiempo o longitud. El número pi es un buen ejemplo de este tipo de números, que resulta infinito y al mismo tiempo se escribe de manera decimal.
• Algunas de las características que se dan realizando operaciones con números reales incluyen fijarnos en que las sumas son cerradas, asociativas y conmutativas. El cero no juega ningún papel y si sumamos un número real al cero, siempre nos dará el mismo número real. Todos los números reales tienen números simétricos que dan como resultado un total de 0.
• Por su lado, las multiplicaciones también son cerradas, conmutativas y asociativas, pero el elemento neutro que se produce en estas operaciones es el representado por el número 1. En último lugar, tenemos que saber que todos los números reales (menos el cero) tienen un número inverso de tipo multiplicativo.

El estudio de los números reales también implica conocer a fondo los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales, dado que todos ellos vienen a formar parte del mismo conjunto y de la estructura clave en las matemáticas.

¿Qué operaciones no se pueden hacer con números reales?

Dado que el abanico de operaciones que se pueden realizar con el uso de números reales es realmente amplio, incluyendo todas las operaciones fundamentales en matemáticas, resulta más productivo hablar de aquellas que no se pueden realizar con estas cifras.

• Por ejemplo, no hay divisiones entre el valor cero, por el simple factor de que no existe un inverso multiplicativo de este número.
• Además, no hay raíces par, entre las que se incluyen tanto las raíces cuadradas como las sextas o cuartas, con el uso de números negativos dentro de los números reales.
• Y por último, no hay ninguna posibilidad de dar con el logaritmo de un número real que sea negativo.

Con estas excepciones siempre hay que tener especial precaución en operaciones de cálculo para no encontrarnos con muros que resulte complicado superar tal y como les ocurrió a algunos de los más famosos matemáticos a lo largo de la historia.